ベクトル $\vec{a} = (0, 2, 1)$ と $\vec{b} = (2, -2, 1)$ の両方に垂直で、大きさが3のベクトル $\vec{p}$ を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (0, 2, 1)$ と $\vec{b} = (2, -2, 1)$ の両方に垂直で、大きさが3のベクトル $\vec{p}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直なベクトルを求めるために、外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を計算します。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} = (2\cdot 1 - 1\cdot(-2))\vec{i} - (0\cdot 1 - 1\cdot 2)\vec{j} + (0\cdot (-2) - 2\cdot 2)\vec{k} = (2+2)\vec{i} - (0-2)\vec{j} + (0-4)\vec{k} = 4\vec{i} + 2\vec{j} - 4\vec{k}$

したがって、$\vec{a} \times \vec{b} = (4, 2, -4)$ となります。

次に、このベクトルの大きさを計算します。

$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ に垂直な単位ベクトル $\vec{u}$ は、

$\vec{u} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{(4, 2, -4)}{6} = \left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}\right)$

求めたいベクトル $\vec{p}$ は大きさが3なので、

$\vec{p} = 3\vec{u} = 3\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}\right) = (2, 1, -2)$

また、$\vec{a} \times \vec{b}$ の符号を反転させたベクトルも $\vec{a}$ と $\vec{b}$ に垂直なので、

$\vec{u'} = -\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = -\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}\right) = \left(-\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$

$\vec{p'} = 3\vec{u'} = 3\left(-\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right) = (-2, -1, 2)$

3. 最終的な答え

求めるベクトル $\vec{p}$ は $(2, 1, -2)$ または $(-2, -1, 2)$ です。