与えられた数列は、分母が2, 3, 4, 5, ...と増加し、各分母の項数は分母から1を引いた数に等しい数列である。この数列の初項から第n項までの和が初めて2025を超えるとき、第n項が第何群に含まれているかを求める。

1. 問題の内容

与えられた数列は、分母が2, 3, 4, 5, ...と増加し、各分母の項数は分母から1を引いた数に等しい数列である。この数列の初項から第n項までの和が初めて2025を超えるとき、第n項が第何群に含まれているかを求める。

2. 解き方の手順

まず、第k群の和を求めます。第k群は、分母がk+1であり、分子が1からkまでの数列なので、第k群の和は以下のようになります。

$\frac{1}{k+1} + \frac{2}{k+1} + \dots + \frac{k}{k+1} = \frac{1+2+\dots+k}{k+1} = \frac{k(k+1)/2}{k+1} = \frac{k}{2}$

次に、第1群から第m群までの和を求めます。これは、各群の和を足し合わせればよいので、以下のようになります。

$\sum_{k=1}^{m} \frac{k}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{m} k = \frac{1}{2} \cdot \frac{m(m+1)}{2} = \frac{m(m+1)}{4}$

この和が初めて2025を超えるようなmを求めます。

$\frac{m(m+1)}{4} > 2025$

$m(m+1) > 8100$

$m^2 + m - 8100 > 0$

mは自然数なので、$m^2$ が8100に近いものを探します。$90^2 = 8100$ なので、$m$ は 90 に近い値です。

$90 \times 91 = 8190$

$89 \times 90 = 8010$

したがって、$m=90$ のとき、 $\frac{90 \times 91}{4} = \frac{8190}{4} = 2047.5 > 2025$

$m=89$ のとき、 $\frac{89 \times 90}{4} = \frac{8010}{4} = 2002.5 < 2025$

よって、第1群から第90群までの和が初めて2025を超えることがわかります。

次に、第n項が何番目の群に含まれているかを調べるために、各群の項数を調べます。第k群の項数はkです。第m群までの項数の合計は $\sum_{k=1}^{m} k = \frac{m(m+1)}{2}$ です。

$m=89$のとき、項数の合計は $\frac{89 \times 90}{2} = 89 \times 45 = 4005$

$m=90$のとき、項数の合計は $\frac{90 \times 91}{2} = 45 \times 91 = 4095$

初項から第n項までの和が初めて2025を超えるのは、第90群まで足した時なので、$n$は4005より大きく、4095以下となります。 つまり、$4005 < n \leq 4095$

したがって、第n項は第90群に含まれています。

3. 最終的な答え

第90群