与えられた恒等式 $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$ を利用して、和 $S = \frac{1}{1\cdot3} + \frac{1}{3\cdot5} + \frac{1}{5\cdot7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた恒等式 $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$ を利用して、和 $S = \frac{1}{1\cdot3} + \frac{1}{3\cdot5} + \frac{1}{5\cdot7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

和 $S$ の各項に与えられた恒等式を適用する。

$S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$

$S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$

$S = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$

この和は、隣接する項が打ち消し合う望遠鏡和（telescoping sum）になる。

$S = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \right]$

$S = \frac{1}{2} \left[ 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right]$

$S = \frac{1}{2} \left[ 1 - \frac{1}{2n+1} \right]$

$S = \frac{1}{2} \left[ \frac{2n+1}{2n+1} - \frac{1}{2n+1} \right]$

$S = \frac{1}{2} \left[ \frac{2n}{2n+1} \right]$

$S = \frac{n}{2n+1}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{n}{2n+1}$