定積分 $\int_{-\pi}^{\pi} \cos x \sin^3 x \, dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\pi}^{\pi} \cos x \sin^3 x \, dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $f(x) = \cos x \sin^3 x$ の偶奇性を調べます。

$f(-x) = \cos(-x) \sin^3(-x) = \cos x (-\sin x)^3 = \cos x (-\sin^3 x) = - \cos x \sin^3 x = -f(x)$

したがって、$f(x)$ は奇関数です。

奇関数の対称区間における積分は0になることを利用します。つまり、$\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ (ただし、$f(x)$ は奇関数)です。

この性質を用いると、

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos x \sin^3 x \, dx = 0$

となります。

3. 最終的な答え

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