複素数 $z = 6 + 2i$ を、原点を中心として与えられた角度だけ回転させた点を表す複素数を求めます。角度は (1) $\frac{\pi}{4}$, (2) $-\frac{\pi}{3}$, (3) $\frac{\pi}{2}$, (4) $\frac{5\pi}{6}$ の４パターンです。

1. 問題の内容

複素数 $z = 6 + 2i$ を、原点を中心として与えられた角度だけ回転させた点を表す複素数を求めます。角度は (1) $\frac{\pi}{4}$, (2) $-\frac{\pi}{3}$, (3) $\frac{\pi}{2}$, (4) $\frac{5\pi}{6}$ の４パターンです。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を角度 $\theta$ だけ回転させるには、$z$ に $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ を掛けます。したがって、各角度について $\cos\theta + i\sin\theta$ を計算し、$z=6+2i$ に掛けます。

(1) $\theta = \frac{\pi}{4}$ のとき、

$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$、$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$

$(6+2i)(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3\sqrt{2} + 3i\sqrt{2} + i\sqrt{2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}i$

(2) $\theta = -\frac{\pi}{3}$ のとき、

$\cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$、$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$(6+2i)(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 3 - 3i\sqrt{3} + i - i^2\sqrt{3} = 3 + \sqrt{3} + (-3\sqrt{3} + 1)i = (3+\sqrt{3}) + (1-3\sqrt{3})i$

(3) $\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき、

$\cos\frac{\pi}{2} = 0$、$\sin\frac{\pi}{2} = 1$ なので、

$\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = i$

$(6+2i)i = 6i - 2 = -2 + 6i$

(4) $\theta = \frac{5\pi}{6}$ のとき、

$\cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$ なので、

$\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$

$(6+2i)(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = -3\sqrt{3} + 3i - i\sqrt{3} - 1 = -3\sqrt{3}-1 + (3-\sqrt{3})i$

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}i$

(2) $(3+\sqrt{3}) + (1-3\sqrt{3})i$

(3) $-2 + 6i$

(4) $-1-3\sqrt{3} + (3-\sqrt{3})i$