次の重積分の値を求めます。積分領域は$D = \{(x, y) | x^2 \leq y \leq 2x+3\}$です。 $$ \iint_D \frac{dxdy}{\sqrt{(60 - 4x + y - x^2)^3}} $$

1. 問題の内容

次の重積分の値を求めます。積分領域は$D = \{(x, y) | x^2 \leq y \leq 2x+3\}$です。

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\iint_D \frac{dxdy}{\sqrt{(60 - 4x + y - x^2)^3}}

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2. 解き方の手順

まず、積分領域$D$を決定します。

$y=x^2$と$y=2x+3$の交点を求めます。

$x^2 = 2x + 3$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x-3)(x+1) = 0$

$x = -1, 3$

したがって、$x$の範囲は$-1 \leq x \leq 3$で、$y$の範囲は$x^2 \leq y \leq 2x+3$となります。

重積分を計算します。

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\iint_D \frac{dxdy}{\sqrt{(60 - 4x + y - x^2)^3}} = \int_{-1}^3 \int_{x^2}^{2x+3} \frac{dy dx}{\sqrt{(60 - 4x + y - x^2)^3}}

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まず、$y$に関する積分を計算します。

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\int_{x^2}^{2x+3} \frac{dy}{\sqrt{(60 - 4x + y - x^2)^3}} = \int_{x^2}^{2x+3} (60 - 4x + y - x^2)^{-3/2} dy

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$u = 60 - 4x + y - x^2$とおくと、$du = dy$です。

$y = x^2$のとき、$u = 60 - 4x + x^2 - x^2 = 60 - 4x$

$y = 2x + 3$のとき、$u = 60 - 4x + 2x + 3 - x^2 = 63 - 2x - x^2$

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\int_{60 - 4x}^{63 - 2x - x^2} u^{-3/2} du = \left[ -2 u^{-1/2} \right]_{60 - 4x}^{63 - 2x - x^2} = -2 \left( (63 - 2x - x^2)^{-1/2} - (60 - 4x)^{-1/2} \right)

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= 2 \left( \frac{1}{\sqrt{60 - 4x}} - \frac{1}{\sqrt{63 - 2x - x^2}} \right)

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次に、$x$に関する積分を計算します。

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\int_{-1}^3 2 \left( \frac{1}{\sqrt{60 - 4x}} - \frac{1}{\sqrt{63 - 2x - x^2}} \right) dx = 2 \int_{-1}^3 \left( \frac{1}{\sqrt{60 - 4x}} - \frac{1}{\sqrt{64 - (x+1)^2}} \right) dx

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= 2 \left( \left[ -\frac{1}{2} \sqrt{60 - 4x} \right]_{-1}^3 - \left[ \arcsin \frac{x+1}{8} \right]_{-1}^3 \right) = 2 \left( -\frac{1}{2}(\sqrt{48} - \sqrt{64}) - \left( \arcsin \frac{4}{8} - \arcsin 0 \right) \right)

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= 2 \left( -\frac{1}{2} (4\sqrt{3} - 8) - \arcsin \frac{1}{2} \right) = 2 \left( 4 - 2\sqrt{3} - \frac{\pi}{6} \right) = 8 - 4\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}

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3. 最終的な答え

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8 - 4\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}

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