次の不定積分を求めよ。 $\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 3}$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めよ。

$\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 3}$

2. 解き方の手順

まず、分母を平方完成します。

$x^2 + 2x + 3 = (x+1)^2 + 2$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{dx}{(x+1)^2 + 2}$

ここで、$x+1 = \sqrt{2} \tan \theta$ と置換します。

すると、$dx = \sqrt{2} \sec^2 \theta \, d\theta$ となります。

積分は次のようになります。

$\int \frac{\sqrt{2} \sec^2 \theta}{(\sqrt{2} \tan \theta)^2 + 2} d\theta$

$= \int \frac{\sqrt{2} \sec^2 \theta}{2 \tan^2 \theta + 2} d\theta$

$= \int \frac{\sqrt{2} \sec^2 \theta}{2 (\tan^2 \theta + 1)} d\theta$

$= \int \frac{\sqrt{2} \sec^2 \theta}{2 \sec^2 \theta} d\theta$

$= \frac{\sqrt{2}}{2} \int d\theta$

$= \frac{\sqrt{2}}{2} \theta + C$

ここで、$\theta = \arctan \left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)$ なので、

$\frac{\sqrt{2}}{2} \arctan \left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{2}}{2} \arctan \left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right) + C$

これは、$\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right) + C$ とも表現できます。