(1) $ \frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{10}}{3} > 0 $ となる条件の下、与えられた式を計算し、$ \frac{10}{3} < \frac{2\sqrt{3}}{3} < \frac{11}{3} $ であることを示す。 (2) $ \frac{10}{3} < x < \frac{11}{3} $ であることが、$ 3.3 < x < 3.5 $ であるための必要条件、十分条件のどれであるかを答える。 (3) $a$ を0以上の整数定数とし、不等式 $|x-\frac{2a}{3}| < \frac{2a+1}{10}$ について、 (i) $a-2$のとき、不等式を満たす整数$x$を求める。 (ii) 不等式を満たす奇数$x$がちょうど2個である整数$a$の個数を求める。

1. 問題の内容

(1) $\frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{10}}{3} > 0$ となる条件の下、与えられた式を計算し、$\frac{10}{3} < \frac{2\sqrt{3}}{3} < \frac{11}{3}$ であることを示す。

(2) $\frac{10}{3} < x < \frac{11}{3}$ であることが、$3.3 < x < 3.5$ であるための必要条件、十分条件のどれであるかを答える。

(3) $a$ を0以上の整数定数とし、不等式 $|x-\frac{2a}{3}| < \frac{2a+1}{10}$ について、

(i) $a-2$のとき、不等式を満たす整数$x$を求める。

(ii) 不等式を満たす奇数$x$がちょうど2個である整数$a$の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた不等式を計算する。

$\frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{10}}{3} > 0$

$2\sqrt{3} > \sqrt{10}$

$12 > 10$

これは常に成り立つ。

次に

$\frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{12}}{3}$ であるから、

$\frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{49}}{3} - \frac{\sqrt{100}}{3} = \frac{7}{3} - \frac{10}{3}$

(2)

$\frac{10}{3} < x < \frac{11}{3}$

$\frac{10}{3} \approx 3.33$

$\frac{11}{3} \approx 3.67$

$3.3 < x < 3.5$

$\frac{10}{3} < x < \frac{11}{3}$ は $3.3 < x < 3.5$ であるための必要条件。

(3)

(i) $a = 2$ のとき、不等式は

$|x - \frac{4}{3}| < \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

$-\frac{1}{2} < x - \frac{4}{3} < \frac{1}{2}$

$\frac{4}{3} - \frac{1}{2} < x < \frac{4}{3} + \frac{1}{2}$

$\frac{8 - 3}{6} < x < \frac{8 + 3}{6}$

$\frac{5}{6} < x < \frac{11}{6}$

$0.833... < x < 1.833...$

$x = 1$

(ii)

$|x - \frac{2a}{3}| < \frac{2a+1}{10}$

$-\frac{2a+1}{10} < x - \frac{2a}{3} < \frac{2a+1}{10}$

$\frac{2a}{3} - \frac{2a+1}{10} < x < \frac{2a}{3} + \frac{2a+1}{10}$

$\frac{20a - 6a - 3}{30} < x < \frac{20a + 6a + 3}{30}$

$\frac{14a - 3}{30} < x < \frac{26a + 3}{30}$

x が奇数なので $x = 2k+1$ ($k$は整数)

$\frac{14a - 3}{30} < 2k+1 < \frac{26a + 3}{30}$

$x$ が2個なので、

$a=0$ の時、$-\frac{3}{30} < x < \frac{3}{30}$ , 奇数はなし。

$a=1$ の時、$\frac{11}{30} < x < \frac{29}{30}$ , 奇数はなし。

$a=2$ の時、$\frac{25}{30} < x < \frac{55}{30}$ , 奇数は1

$a=3$ の時、$\frac{39}{30} < x < \frac{81}{30}$, 奇数は3

$a=4$ の時、$\frac{53}{30} < x < \frac{107}{30}$, 奇数は3

$a=5$ の時、$\frac{67}{30} < x < \frac{133}{30}$, 奇数は3

$x=3, 5$

$3 = 2(1)+1$

$5 = 2(2)+1$

3. 最終的な答え

(1) アイウ: 7, エオ: 10

(2) カ: 0

(3) (i) キ: 1, (ii) ク: 0