三角形ABCにおいて、$AB = 8, BC = 7, CA = 5$である。 (1) $\cos{\angle BCA}$、$\sin{\angle BCA}$の値を求めよ。また、三角形ABCの外接円の半径を求めよ。 (2) 直線ABと平行な直線$l$が、三角形ABCの外接円の点Cを含まない方の弧ABと2点D, Eで交わっている。ただし、$AD = 3$である。このとき$\cos{\angle ADB}$と$BD$の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 8, BC = 7, CA = 5$である。

(1) $\cos{\angle BCA}$、$\sin{\angle BCA}$の値を求めよ。また、三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

(2) 直線ABと平行な直線$l$が、三角形ABCの外接円の点Cを含まない方の弧ABと2点D, Eで交わっている。ただし、$AD = 3$である。このとき$\cos{\angle ADB}$と$BD$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\cos{\angle BCA}$を求める。余弦定理より、

$AB^2 = BC^2 + CA^2 - 2 \cdot BC \cdot CA \cdot \cos{\angle BCA}$

$8^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos{\angle BCA}$

$64 = 49 + 25 - 70 \cos{\angle BCA}$

$70 \cos{\angle BCA} = 10$

$\cos{\angle BCA} = \frac{1}{7}$

$\sin{\angle BCA}$を求める。

$\sin^2{\angle BCA} + \cos^2{\angle BCA} = 1$

$\sin^2{\angle BCA} = 1 - \left(\frac{1}{7}\right)^2 = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}$

$\sin{\angle BCA} = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$

外接円の半径$R$を求める。正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin{\angle BCA}} = 2R$

$R = \frac{AB}{2\sin{\angle BCA}} = \frac{8}{2 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7}} = \frac{8 \cdot 7}{8\sqrt{3}} = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

(2) $\cos{\angle ADB}$を求める。四角形ADBEは円に内接するので、

$\angle ADB = 180^\circ - \angle ABE$

また、ABと直線lは平行なので、$\angle ABE = \angle BAC$

したがって、$\angle ADB = 180^\circ - \angle BAC$

$\cos{\angle ADB} = \cos{(180^\circ - \angle BAC)} = -\cos{\angle BAC}$

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2\cdot AB \cdot CA \cdot \cos{\angle BAC}$

$7^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos{\angle BAC}$

$49 = 64 + 25 - 80 \cos{\angle BAC}$

$80 \cos{\angle BAC} = 40$

$\cos{\angle BAC} = \frac{1}{2}$

$\cos{\angle ADB} = -\frac{1}{2}$

$BD$の長さを求める。$\triangle ADB$において余弦定理より、

$AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 \cdot AD \cdot BD \cdot \cos{\angle ADB}$

$8^2 = 3^2 + BD^2 - 2 \cdot 3 \cdot BD \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$64 = 9 + BD^2 + 3BD$

$BD^2 + 3BD - 55 = 0$

$BD = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 4 \cdot 55}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{229}}{2}$

$BD > 0$なので、$BD = \frac{-3 + \sqrt{229}}{2}$

3. 最終的な答え

$\cos{\angle BCA} = \frac{1}{7}$

$\sin{\angle BCA} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$

$R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

$\cos{\angle ADB} = -\frac{1}{2}$

$BD = \frac{-3 + \sqrt{229}}{2}$