地点Aから高さ $h$ [m] のテレビ塔の頂点Pを見上げた角度は45°であった。地点Aから塔に向かって水平に100m進んだ地点BからPを見上げた角度は60°であった。目の高さを無視するとき、塔の高さ $h$ を小数第1位まで求めよ。

## 問題8

1. 問題の内容

地点Aから高さ $h$ [m] のテレビ塔の頂点Pを見上げた角度は45°であった。地点Aから塔に向かって水平に100m進んだ地点BからPを見上げた角度は60°であった。目の高さを無視するとき、塔の高さ $h$ を小数第1位まで求めよ。

2. 解き方の手順

* 地点Aと地点B、塔の足元をそれぞれA, B, Cとすると、$\angle PAC = 45^\circ$, $\angle PBC = 60^\circ$, $AB = 100$となる。

* $AC = h$とすると、$\tan 45^\circ = \frac{h}{AC} = 1$より、$AC = h$。

* $BC = x$とすると、$\tan 60^\circ = \frac{h}{x} = \sqrt{3}$より、$x = \frac{h}{\sqrt{3}}$。

* $AB = AC - BC = 100$なので、$h - \frac{h}{\sqrt{3}} = 100$。

* $h(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}) = 100$より、$h(\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}) = 100$。

* $h = \frac{100\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = \frac{100\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{100(3 + \sqrt{3})}{2} = 50(3 + \sqrt{3})$。

* $\sqrt{3} \approx 1.732$なので、$h \approx 50(3 + 1.732) = 50(4.732) = 236.6$。

3. 最終的な答え

$h = 236.6$