整数 $n$ に対して、「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」という命題を証明します。

1. 問題の内容

整数 $n$ に対して、「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」という命題を証明します。

2. 解き方の手順

この命題を直接証明するのは難しいので、対偶を証明します。

元の命題の対偶は、「$n$ が偶数ならば、$n^2$ は偶数である」です。

$n$ が偶数であると仮定すると、$n = 2k$（$k$ は整数）と表すことができます。

このとき、$n^2$ は以下のようになります。

$n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$

$2k^2$ は整数なので、$n^2$ は2の倍数、つまり偶数です。

したがって、$n$ が偶数ならば、$n^2$ は偶数であることが証明されました。

これは元の命題の対偶が真であることを示しているので、元の命題「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」も真です。

3. 最終的な答え

$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である。（証明終わり）