1. 問題の内容
が無理数であることを用いて、 が無理数であることを証明します。
2. 解き方の手順
背理法を用いて証明します。
が有理数であると仮定します。
（ただし、 は有理数）と表せるとします。
この式を変形して について解きます。
が有理数なので、 も有理数であり、 も有理数となります。
これは、 が有理数であることを意味し、 が無理数であるという仮定に矛盾します。
したがって、 は無理数である。
3. 最終的な答え
は無理数である。
「数論」の関連問題
正の整数 $n$ が与えられ、$n$ と $12$ の最小公倍数が $168$ であるような $n$ を全て求める問題です。
最小公倍数素因数分解整数の性質
2025/6/5
正の整数 $n$ と $24$ の最小公倍数が $504$ であるような $n$ をすべて求める問題です。
最小公倍数素因数分解整数の性質
2025/6/5
$m, n$ は自然数であるとき、$30!$ が $2^m$ で割り切れるような最大の $m$ の値を求めます。
素因数分解階乗床関数素因数の個数
2025/6/5
自然数の列を、第$n$群に$2^{n-1}$個の数が入るように群に分ける。 (1) 第$n$群の最初の数を$n$の式で表す。 (2) 第1群から第$n$群までに入るすべての数の和を求める。 (3) 1...
数列群数列指数和の計算
2025/6/5
自然数の列を、第 $n$ 群に $2^{n-1}$ 個の数が入るように群に分ける。 (1) 第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表す。 (2) 第1群から第 $n$ 群までに入るすべての数の和を...
数列群分け等比数列等差数列指数
2025/6/5
与えられた問題は3つの部分から構成されています。 (1) 整数 $n$ に対して、$n^5 - n$ が 5 の倍数であることを証明します。 (2) 整数 $n$ が 2 で割ると 1 余る (奇数で...
整数の性質倍数合同式因数分解
2025/6/5
自然数 $n$ に対して、$n$, $n+2$, $n+4$ がすべて素数となるのは $n=3$ の場合に限ることを、すべての自然数が $3k-2$, $3k-1$, $3k$ ($k$ は自然数) ...
素数整数の性質合同式
2025/6/5
問題は、2つの連続する奇数の積に1を加えると、結果が4の倍数になることを証明するものです。空欄cとdに入る適切な語句を答えます。
整数の性質倍数証明代数
2025/6/5
7進法で表された循環小数 $0.\dot{3}\dot{5}_{(7)}$ を5進法の小数で表す問題です。
数進法循環小数数の変換
2025/6/5
(1) $0 \le M \le 99$ を満たす整数 $M$ のうち、$M(M-1)$ が $25$ で割り切れるものを全て求める。 (2) $100 \le N \le 199$ を満たす整数 $...
合同式整数の性質剰余
2025/6/5