整数 $n$ について、「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」という命題を証明する。

1. 問題の内容

整数 $n$ について、「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」という命題を証明する。

2. 解き方の手順

この命題の対偶を証明する。元の命題とその対偶の真偽は一致するので、対偶が真であることを示せば、元の命題も真であることが証明される。

元の命題は「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」である。この対偶は「$n$ が偶数ならば、$n^2$ は偶数である」となる。

$n$ が偶数であると仮定すると、ある整数 $k$ を用いて、$n = 2k$ と表すことができる。

このとき、$n^2$ は、

$n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$

となる。$2k^2$ は整数なので、$n^2$ は2の倍数であり、したがって偶数である。

よって、$n$ が偶数ならば、$n^2$ は偶数である。これは対偶が真であることを示している。

したがって、元の命題である「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」も真である。

3. 最終的な答え

$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である。（証明終わり）