$n$は整数とする。命題「$n^2$が奇数ならば、$n$は奇数である」を証明せよ。

1. 問題の内容

$n$は整数とする。命題「$n^2$が奇数ならば、$n$は奇数である」を証明せよ。

2. 解き方の手順

この命題を直接証明する代わりに、対偶を証明する。対偶は「$n$が偶数ならば、$n^2$は偶数である」となる。

$n$が偶数であると仮定する。すると、$n$は整数$k$を用いて、$n = 2k$と表すことができる。

次に、$n^2$を計算する。

$n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$

$2k^2$は整数なので、$n^2$は2の倍数である。したがって、$n^2$は偶数である。

対偶が真であることが証明されたので、元の命題「$n^2$が奇数ならば、$n$は奇数である」も真である。

3. 最終的な答え

$n^2$が奇数ならば、$n$は奇数である。