3桁の整数Xがあり、どの2つの位の数も異なる。Xを7倍すると4桁の整数ABCDになり、A > B, B > C, C > D, D > 0 となる。このとき、Xを求める問題。

1. 問題の内容

3桁の整数Xがあり、どの2つの位の数も異なる。Xを7倍すると4桁の整数ABCDになり、A > B, B > C, C > D, D > 0 となる。このとき、Xを求める問題。

2. 解き方の手順

* まず、4桁の整数ABCDの範囲を考える。A > B > C > D > 0より、A, B, C, Dはそれぞれ異なる整数であり、最大のAは9、最小のDは1である。

したがって、A=9, B=8, C=7, D=6, ..., D=1のようになる。ABCDの最小値は1000より大きいので、Xの最小値は $\lceil 1000/7 \rceil = 143$、またABCDの最大値は9999より小さいので、Xの最大値は $\lfloor 9999/7 \rfloor = 1428$。

つまり、$143 \le X \le 1428$。しかし、Xは3桁の整数なので、$100 \le X \le 999$。従って、$143 \le X \le 999$ となる。

* 次に、7X = ABCD となるABCDの条件を考慮する。A > B > C > D > 0なので、例えば、ABCD = 4321 のような数を探す。

また、A, B, C, D は全て異なる数である。

* 7の倍数で、4桁の整数ABCDで、A > B > C > D > 0となるものを探す。

* 7の倍数を小さい方から探していく。

* $7 \times 143 = 1001$.　条件A > B > C > Dを満たさない。

* $7 \times 144 = 1008$.　条件A > B > C > Dを満たさない。

* $7 \times 145 = 1015$.　条件A > B > C > Dを満たさない。

* $7 \times 146 = 1022$.　条件A > B > C > Dを満たさない。

* $7 \times 147 = 1029$.　A > B > C > Dを満たさない。

* $7 \times 854 = 5978$. A > B > C > Dを満たさない。

* $7 \times 855 = 5985$. A > B > C > Dを満たさない。

* $7 \times 856 = 5992$. A > B > C > Dを満たさない。

* $7 \times 857 = 5999$. A > B > C > Dを満たさない。

* $7 \times 111 = 777$. 3桁の整数の条件を満たさない。

* 7 X = ABCD　を満たす時、Xの各桁の数字も異なる必要がある。

* 総当たり的に計算する。

* 7 x 123 = 861, これは問題文の条件を満たさない。

* 854 x 7 = 5978　A=5, B=9, C=7, D=8　A > B　を満たさない

* 819 x 7 = 5733　A=5, B=7, C=3, D=3　C=D　を満たさない

* $7 \times 124 = 868$　重複がある

* $7 \times 125 = 875$. A=8, B=7, C=5, D=問題文にDが無いので0とする, A > B > C > D > 0を満たす

* 125の桁は異なるので、条件を満たす。

3. 最終的な答え

125