関数 $y=-2x^2$ と関数 $y=2x$ について、$x$ の値が $t$ から $t+3$ まで変化するときの変化の割合が等しいとき、定数 $t$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y=-2x^2$ と関数 $y=2x$ について、$x$ の値が $t$ から $t+3$ まで変化するときの変化の割合が等しいとき、定数 $t$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $y=-2x^2$ における $x$ が $t$ から $t+3$ まで変化するときの変化の割合を求める。

変化の割合は、$\frac{yの増加量}{xの増加量}$ で求められる。

$x=t$ のとき、$y=-2t^2$ である。

$x=t+3$ のとき、$y=-2(t+3)^2=-2(t^2+6t+9)=-2t^2-12t-18$ である。

したがって、$y$ の増加量は、$-2t^2-12t-18-(-2t^2)=-12t-18$ である。

$x$ の増加量は、$t+3-t=3$ である。

よって、関数 $y=-2x^2$ の変化の割合は、$\frac{-12t-18}{3}=-4t-6$ である。

次に、関数 $y=2x$ における $x$ が $t$ から $t+3$ まで変化するときの変化の割合を求める。

$x=t$ のとき、$y=2t$ である。

$x=t+3$ のとき、$y=2(t+3)=2t+6$ である。

したがって、$y$ の増加量は、$2t+6-2t=6$ である。

$x$ の増加量は、$t+3-t=3$ である。

よって、関数 $y=2x$ の変化の割合は、$\frac{6}{3}=2$ である。

変化の割合が等しいので、以下の式が成り立つ。

$-4t-6 = 2$

この式を解く。

$-4t = 8$

$t = -2$

3. 最終的な答え

$t = -2$