問題6: 行列$P$と$Q$が直交行列であるとき、その積$PQ$も直交行列であることを示してください。

1. 問題の内容

問題6: 行列$P$と$Q$が直交行列であるとき、その積$PQ$も直交行列であることを示してください。

2. 解き方の手順

直交行列の定義は、$A$が直交行列であるとき、$A^T A = I$かつ$A A^T = I$が成り立つことです。ここで、$A^T$は$A$の転置行列、$I$は単位行列を表します。

$P$と$Q$が直交行列なので、次の式が成り立ちます。

$P^T P = I$

$P P^T = I$

$Q^T Q = I$

$Q Q^T = I$

積$PQ$が直交行列であることを示すには、$(PQ)^T (PQ) = I$と$(PQ) (PQ)^T = I$が成り立つことを示す必要があります。

まず、$(PQ)^T$は$Q^T P^T$に等しいことを利用します。

$(PQ)^T (PQ) = (Q^T P^T) (PQ) = Q^T (P^T P) Q = Q^T I Q = Q^T Q = I$

次に、

$(PQ) (PQ)^T = (PQ) (Q^T P^T) = P (Q Q^T) P^T = P I P^T = P P^T = I$

したがって、$(PQ)^T (PQ) = I$かつ$(PQ) (PQ)^T = I$が成り立つので、$PQ$は直交行列です。

3. 最終的な答え

$P$、$Q$が直交行列ならば、$PQ$も直交行列である。