与えられた式 $x^2 - 3xy + 2y^2 - x + 5y - 12$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - 3xy + 2y^2 - x + 5y - 12$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + (-3y - 1)x + (2y^2 + 5y - 12)$

定数項 $(2y^2 + 5y - 12)$ を因数分解します。

$2y^2 + 5y - 12 = (2y - 3)(y + 4)$

次に、全体の式が $(x + ay + b)(x + cy + d)$ の形になると仮定します。

$ac = 2$, $bd = -12$, $a+c = -3$, $b+d = -1$ である必要があります。

$2y^2+5y-12$ の因数分解の結果から、$a$ と $c$ は $y+4$ および $2y-3$ に関連する係数であることがわかります。

$2y^2 + 5y - 12 = (y + 4)(2y - 3)$

$x^2 + (-3y - 1)x + (y + 4)(2y - 3)$

$(x+ay+b)(x+cy+d)$の形を考えると、$(x+2y+A)(x+y+B)$または$(x+y+A)(x+2y+B)$となる可能性がある。係数を比較すると、

$(x - y + a)(x - 2y + b) = x^2 - 3xy + 2y^2 + (a+b)x - (2a+b)y + ab$

この式と与えられた式を比較すると、

$a+b = -1$

$2a+b = -5$

$ab = -12$

これらの式を解くと、

$a = -4$, $b = 3$ となります。

よって、

$x^2 - 3xy + 2y^2 - x + 5y - 12 = (x-y-4)(x-2y+3)$

3. 最終的な答え

$(x - y - 4)(x - 2y + 3)$