与えられた式 $6x^2 - 7xy + 2y^2 - 6x + 5y - 12$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $6x^2 - 7xy + 2y^2 - 6x + 5y - 12$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$6x^2 + (-7y - 6)x + (2y^2 + 5y - 12)$

次に、定数項 $2y^2 + 5y - 12$ を因数分解します。

$2y^2 + 5y - 12 = (2y - 3)(y + 4)$

したがって、式は次のようになります。

$6x^2 + (-7y - 6)x + (2y - 3)(y + 4)$

次に、全体の式を因数分解できる形を探します。

$(ax + by + c)(dx + ey + f)$

の形になると仮定し、係数を比較して探します。

$6x^2 - 7xy + 2y^2 - 6x + 5y - 12 = (2x - y + a)(3x - 2y + b)$

となることを期待します。展開すると

$6x^2 - 4xy + 2bx - 3xy + 2y^2 - by + 3ax - ay + ab$

$= 6x^2 - 7xy + 2y^2 + (2b + 3a)x + (-b - a)y + ab$

元の式と比較すると、

$2b + 3a = -6$

$-b - a = 5$

$ab = -12$

$-b - a = 5$ より $b = -a - 5$ を $2b + 3a = -6$ に代入すると

$2(-a - 5) + 3a = -6$

$-2a - 10 + 3a = -6$

$a = 4$

$a = 4$ より $b = -4 - 5 = -9$

$ab = 4(-9) = -36$

この方法ではうまくいきません。

別の方法を試します。

$6x^2 - 7xy + 2y^2 - 6x + 5y - 12 = (3x - 2y + a)(2x - y + b)$

と仮定して展開すると

$6x^2 - 3xy + 3bx - 4xy + 2y^2 - 2ay + 2ax - ay + ab$

$= 6x^2 - 7xy + 2y^2 + (3b + 2a)x + (-2b - a)y + ab$

元の式と比較すると、

$3b + 2a = -6$

$-2b - a = 5$

$ab = -12$

$-2b - a = 5$ より $a = -2b - 5$ を $3b + 2a = -6$ に代入すると

$3b + 2(-2b - 5) = -6$

$3b - 4b - 10 = -6$

$-b = 4$

$b = -4$

$b = -4$ より $a = -2(-4) - 5 = 8 - 5 = 3$

$ab = 3(-4) = -12$

したがって、

$6x^2 - 7xy + 2y^2 - 6x + 5y - 12 = (3x - 2y + 3)(2x - y - 4)$

3. 最終的な答え

$(3x - 2y + 3)(2x - y - 4)$