問題は3つの小問から構成されています。 問1は、直角三角形ABCにおいて、(1)三角形ABCと相似な異なる三角形を記号で答える問題。(2)AC=3, AB=4, BC=5のとき、BDの長さを求める問題です。 問2は、∠ACB = ∠EDBのとき、ABの長さを求める問題です。 問3は、高さ1.8mの棒の影が1.2mのとき、そばに立っている木の影の長さが4.2mであったとき、この木の高さを求める問題です。

1. 問題の内容

問題は3つの小問から構成されています。

問1は、直角三角形ABCにおいて、(1)三角形ABCと相似な異なる三角形を記号で答える問題。(2)AC=3, AB=4, BC=5のとき、BDの長さを求める問題です。

問2は、∠ACB = ∠EDBのとき、ABの長さを求める問題です。

問3は、高さ1.8mの棒の影が1.2mのとき、そばに立っている木の影の長さが4.2mであったとき、この木の高さを求める問題です。

2. 解き方の手順

問1(1):

三角形ABCは角Dが直角なので、三角形ADBと三角形CDBも直角三角形です。また、三角形ADBと三角形CDBは三角形ABCと共通の角を持っています。したがって、

$\triangle ABC \sim \triangle ADB$ および $\triangle ABC \sim \triangle CDA$となります。

アとイには異なる記号を入れる必要があるので、それぞれ△ADBと△CDAが入ります。

問1(2):

三角形ABCは$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$を満たすので、ピタゴラスの定理より角Aが直角の直角三角形です。

三角形ABCの面積は $(1/2) \times 3 \times 4 = 6$です。

また、三角形ABCの面積は $(1/2) \times BC \times AD = (1/2) \times 5 \times AD$とも表せます。

したがって、

$(1/2) \times 5 \times AD = 6$

$AD = \frac{12}{5} = 2.4$

$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{4^2 - (\frac{12}{5})^2} = \sqrt{16 - \frac{144}{25}} = \sqrt{\frac{400-144}{25}} = \sqrt{\frac{256}{25}} = \frac{16}{5} = 3.2$

問2:

$\angle ACB = \angle EDB$で、$\angle ABC = \angle EBD$（共通）なので、2角がそれぞれ等しいので$\triangle ABC \sim \triangle EBD$となります。

したがって、$AB:EB = BC:BD$が成り立ちます。

$AB:2 = (2+6):3$

$3AB = 16$

$AB = \frac{16}{3}$

問3:

棒の高さと影の長さの比率は、木の高さと影の長さの比率に等しくなります。

木の高さを$x$とすると、

$\frac{1.8}{1.2} = \frac{x}{4.2}$

$x = \frac{1.8 \times 4.2}{1.2} = \frac{1.8 \times 4.2}{1.2} = \frac{7.56}{1.2} = 6.3$

3. 最終的な答え

問1(1): ア：△ADB、イ：△CDA

問1(2): ウ：3.2

問2: エ：16/3

問3: オ：6.3