一辺の長さが1の正四面体ABCDにおいて、辺BCの中点をMとする。$\angle AMD = \alpha$とする。 (1) 線分AM、線分DMの長さを求めよ。 (2) $\cos{\alpha}$の値を求めよ。 (3) $\triangle AMD$の面積を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正四面体ABCDにおいて、辺BCの中点をMとする。$\angle AMD = \alpha$とする。

(1) 線分AM、線分DMの長さを求めよ。

(2) $\cos{\alpha}$の値を求めよ。

(3) $\triangle AMD$の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分AM、線分DMの長さを求める。

$\triangle ABC$において、AMはBCの中線であり、$\triangle ABC$は正三角形であるから、AMは$\triangle ABC$の高さである。

したがって、$AM = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

同様に、$\triangle DBC$において、DMはBCの中線であり、$\triangle DBC$は正三角形であるから、DMは$\triangle DBC$の高さである。

したがって、$DM = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\cos{\alpha}$の値を求める。

$\triangle AMD$において、余弦定理を用いると、

$AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2 \times AM \times DM \times \cos{\alpha}$

$1^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \cos{\alpha}$

$1 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 2 \times \frac{3}{4} \times \cos{\alpha}$

$1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos{\alpha}$

$\frac{3}{2} \cos{\alpha} = \frac{1}{2}$

$\cos{\alpha} = \frac{1}{3}$

(3) $\triangle AMD$の面積を求める。

$\triangle AMD$の面積は、

$\frac{1}{2} \times AM \times DM \times \sin{\alpha} = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sin{\alpha} = \frac{3}{8} \sin{\alpha}$

$\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1$より、

$\sin^2{\alpha} = 1 - \cos^2{\alpha} = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin{\alpha} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ （$\because 0 < \alpha < \pi$より、$\sin{\alpha} > 0$）

したがって、$\triangle AMD$の面積は、

$\frac{3}{8} \times \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $AM = \frac{\sqrt{3}}{2}, DM = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\cos{\alpha} = \frac{1}{3}$

(3) $\triangle AMD = \frac{\sqrt{2}}{4}$