関数 $y = -\frac{1}{2}x^2$ において、与えられた $x$ の変域に対する $y$ の変域を求める。 (1) $-3 \le x \le -1$ のとき (2) $-2 \le x \le 4$ のとき

1. 問題の内容

関数 $y = -\frac{1}{2}x^2$ において、与えられた $x$ の変域に対する $y$ の変域を求める。

(1) $-3 \le x \le -1$ のとき

(2) $-2 \le x \le 4$ のとき

2. 解き方の手順

$y = -\frac{1}{2}x^2$ は上に凸な放物線である。

(1) $-3 \le x \le -1$ のとき

$x = -3$ のとき $y = -\frac{1}{2}(-3)^2 = -\frac{9}{2} = -4.5$

$x = -1$ のとき $y = -\frac{1}{2}(-1)^2 = -\frac{1}{2} = -0.5$

この範囲では $x$ の絶対値が大きいほど $y$ は小さい。

したがって、$-\frac{9}{2} \le y \le -\frac{1}{2}$。

(2) $-2 \le x \le 4$ のとき

$x = -2$ のとき $y = -\frac{1}{2}(-2)^2 = -\frac{4}{2} = -2$

$x = 4$ のとき $y = -\frac{1}{2}(4)^2 = -\frac{16}{2} = -8$

$x=0$ を含むので、最大値は $y = 0$ となる。

したがって、$-8 \le y \le 0$。

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{9}{2} \le y \le -\frac{1}{2}$

(2) $-8 \le y \le 0$