$AB \neq AC$ である $\triangle ABC$ の頂点 $A$ における外角の二等分線と、辺 $BC$ の延長との交点を $E$ とするとき、$BE:EC = AB:AC$ となることを証明する問題です。

1. 問題の内容

$AB \neq AC$ である $\triangle ABC$ の頂点 $A$ における外角の二等分線と、辺 $BC$ の延長との交点を $E$ とするとき、$BE:EC = AB:AC$ となることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

まず、点 $C$ を通り、$AE$ に平行な直線を引き、$AB$ との交点を $F$ とします。

$AE$ と $CF$ が平行であることから、錯角が等しくなります。

したがって、$\angle ACF = \angle CAE$ が成り立ちます。

また、同位角も等しいので、$\angle AFC = \angle BAE$ が成り立ちます。

$AE$ は $\angle BAC$ の外角の二等分線であるから、$\angle BAE = \angle CAE$ が成り立ちます。

したがって、$\angle ACF = \angle AFC$ となります。

これにより、$\triangle AFC$ は $AF = AC$ の二等辺三角形であることがわかります。

ここで、$\triangle ABE$ と $\triangle FBC$ において、$AE$ と $CF$ が平行であることから、相似な三角形の性質を利用すると、

$\frac{BE}{EC} = \frac{BA}{AF}$ が成り立ちます。

ここで、$AF = AC$ であるから、

$\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC}$

したがって、$BE:EC = AB:AC$ となります。

3. 最終的な答え

$BE:EC = AB:AC$ が証明されました。