与えられた式 $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b$

次に、この式を整理します。

$a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b = a^2b - a^2c - b^2a + b^2c + c^2a - c^2b$

$a$について整理します。

$a^2(b-c) + a(-b^2+c^2) + b^2c - c^2b = a^2(b-c) - a(b^2-c^2) + bc(b-c)$

さらに整理します。

$a^2(b-c) - a(b-c)(b+c) + bc(b-c)$

共通因数 $(b-c)$ でくくります。

$(b-c)(a^2 - a(b+c) + bc)$

括弧の中を因数分解します。

$(b-c)(a^2 - ab - ac + bc) = (b-c)(a(a-b) - c(a-b))$

さらに因数分解します。

$(b-c)(a-b)(a-c)$

符号を整理します。

$(b-c)(a-b)(a-c) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)$