与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$

次に、式を整理して因数分解しやすい形にします。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc = a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 2abc$

$a$ について整理します。

$a^2(b+c) + a(b^2 + 2bc + c^2) + bc(b+c)$

$a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

$(b+c)$ でくくります。

$(b+c) [a^2 + a(b+c) + bc]$

$(b+c) [a^2 + ab + ac + bc]$

$(b+c) [a(a+b) + c(a+b)]$

$(b+c)(a+b)(a+c)$

$(a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$