関数 $f(x) = x[x]$ について、$x=0$ および $x=1$ での連続性を調べる問題です。ここで$[x]$は$x$を超えない最大の整数（ガウス記号）を表します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x[x]$ について、$x=0$ および $x=1$ での連続性を調べる問題です。ここで$[x]$は$x$を超えない最大の整数（ガウス記号）を表します。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が点 $x=a$ で連続であるとは、以下の3つの条件が満たされることです。

1. $f(a)$ が定義されている。

2. 極限 $\lim_{x \to a} f(x)$ が存在する。

3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ が成り立つ。

まず、ガウス記号の性質から、整数 $n$ に対して、

$\lim_{x \to n^-} [x] = n-1$

$\lim_{x \to n^+} [x] = n$

となることを確認しておきます。

(1) $x=0$ での連続性

$f(0) = 0 \cdot [0] = 0 \cdot 0 = 0$

左側極限：

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x[x] = \lim_{x \to 0^-} x(-1) = 0$

右側極限：

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x[x] = \lim_{x \to 0^+} x(0) = 0$

したがって、$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ であり、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$ が成り立つので、$x=0$ で $f(x)$ は連続です。

(2) $x=1$ での連続性

$f(1) = 1 \cdot [1] = 1 \cdot 1 = 1$

左側極限：

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x[x] = \lim_{x \to 1^-} x(0) = 0$

右側極限：

$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} x[x] = \lim_{x \to 1^+} x(1) = 1$

左側極限と右側極限が一致しないため、$\lim_{x \to 1} f(x)$ は存在しません。

したがって、$x=1$ で $f(x)$ は不連続です。

3. 最終的な答え

$x=0$ で連続、 $x=1$ で不連続。