与えられた三角関数の微分を計算します。具体的には、以下の関数を微分します。 18 (1) $y = \sin x - \cos x$ 18 (2) $y = \sin x \tan x$ 19 (1) $y = \sin(2x + 3)$ 19 (2) $y = \cos(2 - 3x)$ 19 (3) $y = \tan 2x$

1. 問題の内容

与えられた三角関数の微分を計算します。具体的には、以下の関数を微分します。

18 (1) $y = \sin x - \cos x$

18 (2) $y = \sin x \tan x$

19 (1) $y = \sin(2x + 3)$

19 (2) $y = \cos(2 - 3x)$

19 (3) $y = \tan 2x$

2. 解き方の手順

18 (1) $y = \sin x - \cos x$

$y' = (\sin x)' - (\cos x)'$

$\sin x$ の微分は $\cos x$ であり、$\cos x$ の微分は $-\sin x$ であるので、

$y' = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x$

18 (2) $y = \sin x \tan x$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使用します。ここで、$u = \sin x$、$v = \tan x$ とします。

$u' = \cos x$

$v' = \frac{1}{\cos^2 x}$

したがって、

$y' = (\sin x)' \tan x + \sin x (\tan x)'$

$y' = \cos x \tan x + \sin x \frac{1}{\cos^2 x}$

$y' = \cos x \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos^2 x}$

$y' = \sin x + \frac{\sin x}{\cos^2 x}$

$y' = \sin x (1 + \frac{1}{\cos^2 x}) = \sin x (1 + \sec^2 x)$

または

$y' = \sin x + \sin x \sec^2 x$

$y' = \sin x + \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{\sin x \cos^2 x + \sin x}{\cos^2 x} = \frac{\sin x(\cos^2 x + 1)}{\cos^2 x}$

19 (1) $y = \sin(2x + 3)$

合成関数の微分 $(f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x)$ を使用します。

$y' = \cos(2x + 3) (2x + 3)'$

$y' = \cos(2x + 3) \cdot 2 = 2 \cos(2x + 3)$

19 (2) $y = \cos(2 - 3x)$

合成関数の微分を使用します。

$y' = -\sin(2 - 3x) (2 - 3x)'$

$y' = -\sin(2 - 3x) \cdot (-3) = 3 \sin(2 - 3x)$

19 (3) $y = \tan 2x$

合成関数の微分を使用します。

$y' = \frac{1}{\cos^2 (2x)} (2x)'$

$y' = \frac{1}{\cos^2 (2x)} \cdot 2 = \frac{2}{\cos^2 (2x)} = 2 \sec^2 (2x)$

3. 最終的な答え

18 (1) $y' = \cos x + \sin x$

18 (2) $y' = \sin x + \frac{\sin x}{\cos^2 x}$ または $y' = \sin x(1 + \sec^2 x)$　または　$y' = \frac{\sin x(\cos^2 x + 1)}{\cos^2 x}$

19 (1) $y' = 2 \cos(2x + 3)$

19 (2) $y' = 3 \sin(2 - 3x)$

19 (3) $y' = \frac{2}{\cos^2 (2x)} = 2 \sec^2 (2x)$