与えられた式 $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc = a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 3abc$

次に、同類項をまとめ、因数分解しやすいように並び替えます。

$a^2b + a^2c + b^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2 + 3abc = a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc$

さらに式を整理して、共通因数を見つけやすくします。

$a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc = ab(a+b) + ac(a+c) + bc(b+c) + 3abc$

この式を $(a+b)(b+c)(c+a)$ に変形できることを利用します。

$(a+b)(b+c)(c+a) = (ab+ac+b^2+bc)(c+a) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc = a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc$

よって、$a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 3abc = (a+b)(b+c)(c+a) + abc$ となります。

もしくは、元の式を変形して

$a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 3abc = a^2b + a^2c + b^2a + ab^2 + c^2a + c^2b + 3abc = a^2(b+c) + a(b^2+2bc+c^2) + bc(b+c) = a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c) = (b+c)[a^2 + a(b+c) + bc] = (b+c)(a^2+ab+ac+bc) = (b+c)[a(a+b)+c(a+b)] = (b+c)(a+b)(a+c) = (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$