全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ が与えられており、集合 $A$ と $B$ について、以下の情報が与えられています。 $A \cap B = \{1, 2\}$ $\overline{A} \cap B = \{4, 7\}$ $A \cap \overline{B} = \{3\}$ このとき、$A$, $B$, $A \cup \overline{B}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ が与えられており、集合 $A$ と $B$ について、以下の情報が与えられています。

$A \cap B = \{1, 2\}$

$\overline{A} \cap B = \{4, 7\}$

$A \cap \overline{B} = \{3\}$

このとき、$A$, $B$, $A \cup \overline{B}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$A$ と $B$ の要素を決定します。

$A \cap B$ は $A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合です。与えられた情報から、$1, 2 \in A$ かつ $1, 2 \in B$ です。

$\overline{A} \cap B$ は $A$ には含まれず、$B$ には含まれる要素の集合です。与えられた情報から、$4, 7 \in B$ かつ $4, 7 \notin A$ です。

$A \cap \overline{B}$ は $A$ には含まれ、$B$ には含まれない要素の集合です。与えられた情報から、$3 \in A$ かつ $3 \notin B$ です。

以上の情報から、$A$ と $B$ の要素は以下のようになります。

$A = \{1, 2, 3\}$

$B = \{1, 2, 4, 7\}$

次に、$A \cup \overline{B}$ を求めます。$\overline{B}$ は $B$ に含まれない $U$ の要素の集合です。

$\overline{B} = \{3, 5, 6\}$

$A \cup \overline{B}$ は $A$ または $\overline{B}$ に含まれる要素の集合です。

$A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3\} \cup \{3, 5, 6\} = \{1, 2, 3, 5, 6\}$

3. 最終的な答え

$A = \{1, 2, 3\}$

$B = \{1, 2, 4, 7\}$

$A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 5, 6\}$