全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ が与えられています。また、$A \cap B = \{1, 2\}$, $\overline{A} \cap B = \{4, 7\}$, $\overline{A} \cap \overline{B} = \{3\}$ であるとき、集合 $A$, $B$, $A \cup B$ を求める問題です。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ が与えられています。また、$A \cap B = \{1, 2\}$, $\overline{A} \cap B = \{4, 7\}$, $\overline{A} \cap \overline{B} = \{3\}$ であるとき、集合 $A$, $B$, $A \cup B$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$A$と$B$に含まれる要素を特定します。

* $A \cap B$ は $A$ と $B$ の両方に含まれる要素を表しています。よって、$1, 2 \in A$ かつ $1, 2 \in B$ です。

* $\overline{A} \cap B$ は $A$ に含まれず、$B$ に含まれる要素を表しています。よって、$4, 7 \in B$ かつ $4, 7 \notin A$ です。

* $\overline{A} \cap \overline{B}$ は $A$ にも $B$ にも含まれない要素を表しています。よって、$3 \notin A$ かつ $3 \notin B$ です。

次に、$A$ に含まれるが、$B$ に含まれない要素を特定します。これは $A \cap \overline{B}$ に含まれる要素です。全体集合$U$から$A \cup B$に含まれるものを除いたものが$\overline{A} \cap \overline{B}$となるので、$U - (A \cup B) = \{3\}$です。

$A \cup B = U - \{3\} = \{1, 2, 4, 5, 6, 7\}$です。

$B = \{1, 2, 4, 7\}$であることがわかっているので、$A \cap \overline{B} = (A \cup B) - B = \{5, 6\}$となります。したがって、$5, 6 \in A$ かつ $5, 6 \notin B$です。

以上の情報から、$A$ と $B$ を特定します。

$A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) = \{1, 2\} \cup \{5, 6\} = \{1, 2, 5, 6\}$

$B = (A \cap B) \cup (\overline{A} \cap B) = \{1, 2\} \cup \{4, 7\} = \{1, 2, 4, 7\}$

最後に、$A \cup B$ を計算します。

$A \cup B = \{1, 2, 5, 6\} \cup \{1, 2, 4, 7\} = \{1, 2, 4, 5, 6, 7\}$

3. 最終的な答え

$A = \{1, 2, 5, 6\}$

$B = \{1, 2, 4, 7\}$

$A \cup B = \{1, 2, 4, 5, 6, 7\}$