$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:2$ に内分する点を $C$ 、辺 $OB$ を $1:2$ に内分する点を $D$ とする。線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とするとき、$\vec{OP}$ を $\vec{a}$ 、$\vec{b}$ を用いて表す。ただし、$\vec{OA} = \vec{a}$ 、$\vec{OB} = \vec{b}$ とする。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:2$ に内分する点を $C$ 、辺 $OB$ を $1:2$ に内分する点を $D$ とする。線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とするとき、$\vec{OP}$ を $\vec{a}$ 、$\vec{b}$ を用いて表す。ただし、$\vec{OA} = \vec{a}$ 、$\vec{OB} = \vec{b}$ とする。

2. 解き方の手順

まず、点 $P$ が線分 $AD$ 上にあることから、実数 $s$ を用いて

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{OD}$ と表せる。

ここで、$\vec{OD} = \frac{1}{3}\vec{OB} = \frac{1}{3}\vec{b}$ であるから、

$\vec{OP} = (1-s)\vec{a} + \frac{s}{3}\vec{b}$ … (1)

次に、点 $P$ が線分 $BC$ 上にあることから、実数 $t$ を用いて

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OC}$ と表せる。

ここで、$\vec{OC} = \frac{3}{5}\vec{OA} = \frac{3}{5}\vec{a}$ であるから、

$\vec{OP} = \frac{3t}{5}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$ … (2)

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立であるから、(1) と (2) の係数を比較して、

$1-s = \frac{3t}{5}$ … (3)

$\frac{s}{3} = 1-t$ … (4)

(4) より $s = 3(1-t)$

これを (3) に代入して

$1 - 3(1-t) = \frac{3t}{5}$

$1 - 3 + 3t = \frac{3t}{5}$

$-2 + 3t = \frac{3t}{5}$

$15t - 3t = 10$

$12t = 10$

$t = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

これを (4) に代入して

$\frac{s}{3} = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$

$s = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$t = \frac{5}{6}$ を (2) に代入して

$\vec{OP} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{6} \vec{a} + (1-\frac{5}{6})\vec{b}$

$\vec{OP} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b}$