与えられた問題は、三角比に関するいくつかの小問から構成されています。 * **\[1]** 直角三角形の図が与えられ、$sin \theta$、$cos \theta$、$tan \theta$ の値を求める。 * **\[2]** $\theta$が鈍角で、$cos \theta = -\frac{3}{4}$のとき、$sin \theta$、$tan \theta$ の値を求める。 * **\[3]** $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で、$sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ と $tan \theta = -1$ を満たす$\theta$を求める。 * **\[4]** $sin 115^\circ$ を鋭角の三角比で表す。

1. 問題の内容

与えられた問題は、三角比に関するいくつかの小問から構成されています。

* **\[1]** 直角三角形の図が与えられ、$sin \theta$、$cos \theta$、$tan \theta$ の値を求める。

* **\[2]** $\theta$が鈍角で、$cos \theta = -\frac{3}{4}$のとき、$sin \theta$、$tan \theta$ の値を求める。

* **\[3]** $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で、$sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ と $tan \theta = -1$ を満たす$\theta$を求める。

* **\[4]** $sin 115^\circ$ を鋭角の三角比で表す。

2. 解き方の手順

**\[1]**

直角三角形の辺の長さが与えられているので、$sin \theta$, $cos \theta$, $tan \theta$ の定義に従って計算します。

$sin \theta = \frac{対辺}{斜辺} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$cos \theta = \frac{隣辺}{斜辺} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$tan \theta = \frac{対辺}{隣辺} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

**\[2]**

$\theta$ が鈍角であるとき、$cos \theta$ は負の値をとります。三角関数の相互関係 $sin^2 \theta + cos^2 \theta = 1$ を用いて $sin \theta$ を求めます。$\theta$ が鈍角なので、$sin \theta$ は正の値をとります。

$sin^2 \theta = 1 - cos^2 \theta = 1 - (-\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

$sin \theta = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$tan \theta = \frac{sin \theta}{cos \theta} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{-\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{7}}{3}$

**\[3]**

(1) $sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす$\theta$は、$60^\circ$ と $120^\circ$です。

(2) $tan \theta = -1$ を満たす$\theta$は、$135^\circ$です。

**\[4]**

$sin(180^\circ - \alpha) = sin \alpha$の関係を利用します。

$sin 115^\circ = sin(180^\circ - 115^\circ) = sin 65^\circ$

3. 最終的な答え

**\[1]**

* $sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

* $cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$

* $tan \theta = \frac{\sqrt{6}}{2}$

**\[2]**

* $sin \theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$

* $tan \theta = -\frac{\sqrt{7}}{3}$

**\[3]**

* (1) $\theta = 60^\circ, 120^\circ$

* (2) $\theta = 135^\circ$

**\[4]**

* $sin 115^\circ = sin 65^\circ$