まず、3つの問題があります。 * 問題5: $\triangle ABC$において、$AB = 4, A = 75^\circ, B = 60^\circ$のとき、$CA$の長さと外接円の半径$R$を求めよ。 * 問題6: $\triangle ABC$において、$AB = 3, BC = \sqrt{7}, CA = 2$のとき、$\angle A$の大きさを求めよ。 * 問題7: $\triangle ABC$において、$AB = 8, BC = 3\sqrt{3}, B = 135^\circ$のとき、$\triangle ABC$の面積$S$を求めよ。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

まず、3つの問題があります。

* 問題5: $\triangle ABC$において、$AB = 4, A = 75^\circ, B = 60^\circ$のとき、$CA$の長さと外接円の半径$R$を求めよ。

* 問題6: $\triangle ABC$において、$AB = 3, BC = \sqrt{7}, CA = 2$のとき、$\angle A$の大きさを求めよ。

* 問題7: $\triangle ABC$において、$AB = 8, BC = 3\sqrt{3}, B = 135^\circ$のとき、$\triangle ABC$の面積$S$を求めよ。

2. 解き方の手順

* 問題5:

* $\angle C$を求める: $\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$

* 正弦定理より、$\frac{AB}{\sin C} = \frac{CA}{\sin B}$なので、$CA = \frac{AB \sin B}{\sin C} = \frac{4 \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{6}$

* 外接円の半径$R$は、正弦定理より$2R = \frac{AB}{\sin C}$なので、$R = \frac{AB}{2\sin C} = \frac{4}{2\sin 45^\circ} = \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$

* 問題6:

* 余弦定理より、$\cos A = \frac{AB^2 + CA^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot CA} = \frac{3^2 + 2^2 - (\sqrt{7})^2}{2 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{9 + 4 - 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

* $\cos A = \frac{1}{2}$を満たす$A$は、$A = 60^\circ$

* 問題7:

* $\triangle ABC$の面積$S$は、$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \sin 135^\circ = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{6} \cdot 2 = 12 \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

* 問題5: $CA = 2\sqrt{6}, R = 2\sqrt{2}$

* 問題6: $A = 60^\circ$

* 問題7: $S = 12\sqrt{6}$