長方形ABCDがあり、ADの延長線上に点Eを取る。BEとCDの交点をFとする。長方形の辺の長さは、AD = BC = 8、CD = AB = 6 である。三角形CEFの面積が8のとき、DEの長さを求める。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、ADの延長線上に点Eを取る。BEとCDの交点をFとする。長方形の辺の長さは、AD = BC = 8、CD = AB = 6 である。三角形CEFの面積が8のとき、DEの長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、DEの長さを $x$ とおく。すると、AE = AD + DE = $8 + x$ となる。

次に、三角形ABEと三角形FCEが相似であることを利用する。なぜなら、$\angle ABE = \angle FCE$ (錯角)であり、$\angle BAE = \angle CFE = 90^\circ$だからである。

したがって、相似比は AE:CE = AB:CF となる。

また、CE = CD - CF であるから、CF = CD - CE = 6 - CF である。

ここで、三角形CEFの面積は $\frac{1}{2} \cdot CF \cdot CE = 8$ であるから、$CF \cdot CE = 16$ となる。

CEは長方形ABCDの幅に相当するので8となる。すると、$CF \cdot 8 = 16$より、$CF=2$となる。

よって、DF = CD - CF = 6 - 2 = 4となる。

次に、三角形ABEと三角形FCEの相似比から $\frac{AE}{CD} = \frac{AB}{CF}$という関係式が得られる。

したがって、$AE = 8+x$、$AB = 6$、$CF = 2$であるから $\frac{8+x}{6} = \frac{6}{2} = 3$ となる。

この方程式を解くと、$8 + x = 18$ より、$x = 18 - 8 = 10$ となる。

したがって、DE = 10 である。

3. 最終的な答え

10