$a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2) = ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

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1. 問題の内容

画像には複数の問題が含まれていますが、ここでは一番複雑そうな問題1の(6)を解きます。

問題1(6): $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$ を因数分解せよ。

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2. 解き方の手順

1. 式を展開します。

$a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2) = ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

2. 変数の次数が最も低い文字について整理します。この場合は、a, b, c すべて次数が2なので、aについて整理します。

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2 = (b^2 - c^2)a + (-b + c)a^2 + (bc^2 - cb^2)$

$= -(b-c)a^2 + (b^2-c^2)a + bc(c-b)$

3. 共通因数を見つけます。

$-(b-c)a^2 + (b^2-c^2)a + bc(c-b) = -(b-c)a^2 + (b+c)(b-c)a - bc(b-c)$

4. 共通因数で括ります。

$-(b-c)a^2 + (b+c)(b-c)a - bc(b-c) = -(b-c)[a^2 - (b+c)a + bc]$

5. 括弧の中を因数分解します。

$-(b-c)[a^2 - (b+c)a + bc] = -(b-c)(a-b)(a-c)$

$= (b-c)(b-a)(a-c)$

$= (a-b)(b-c)(c-a)$

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3. 最終的な答え

$(a-b)(b-c)(c-a)$