$(x+1)^6$ を展開しなさい。

1. 問題の内容

$(x+1)^6$ を展開しなさい。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開します。二項定理は、任意の整数 $n$ に対して、

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

と表されます。

ここで、$\binom{n}{k}$ は二項係数であり、$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ で計算されます。

今回の問題では、$a = x$, $b = 1$, $n = 6$ なので、

$(x+1)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^{6-k} 1^k$

となります。$1^k = 1$ なので、

$(x+1)^6 = \binom{6}{0}x^6 + \binom{6}{1}x^5 + \binom{6}{2}x^4 + \binom{6}{3}x^3 + \binom{6}{4}x^2 + \binom{6}{5}x^1 + \binom{6}{6}x^0$

各二項係数を計算します。

$\binom{6}{0} = \frac{6!}{0!6!} = 1$

$\binom{6}{1} = \frac{6!}{1!5!} = 6$

$\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

$\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

$\binom{6}{4} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

$\binom{6}{5} = \frac{6!}{5!1!} = 6$

$\binom{6}{6} = \frac{6!}{6!0!} = 1$

したがって、

$(x+1)^6 = 1x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1$

3. 最終的な答え

$x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1$