2次関数 $y = ax^2 - 4ax + b$ において、$1 \leq x \leq 4$ の範囲での最大値が6、最小値が2である。このとき、定数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = ax^2 - 4ax + b$ において、$1 \leq x \leq 4$ の範囲での最大値が6、最小値が2である。このとき、定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = ax^2 - 4ax + b = a(x^2 - 4x) + b = a(x^2 - 4x + 4 - 4) + b = a(x - 2)^2 - 4a + b$

したがって、軸は $x = 2$ です。$1 \leq x \leq 4$ の範囲に軸が含まれていることに注意します。

場合分けを考えます。

(1) $a > 0$ の場合：

下に凸のグラフになるので、$x = 2$ で最小値をとり、最小値は $-4a + b = 2$ です。

最大値は $x = 4$ でとるか、$x = 1$ でとるかのいずれかです。

$x=1$と$x=4$は軸から同じ距離なので、$y(1) = y(4) = a - 4a + b = -3a + b$。

したがって、最大値は $-3a + b = 6$ です。

連立方程式

$-4a + b = 2$

$-3a + b = 6$

を解くと、$-3a + b - (-4a + b) = 6 - 2$ より $a = 4$。

これを $-4a + b = 2$ に代入すると、$-16 + b = 2$ より $b = 18$。

$a > 0$ を満たしているので、$a = 4, b = 18$ は解です。

(2) $a < 0$ の場合：

上に凸のグラフになるので、$x = 2$ で最大値をとり、最大値は $-4a + b = 6$ です。

最小値は $x = 1$ でとるか、$x = 4$ でとるかのいずれかです。

$x=1$と$x=4$は軸から同じ距離なので、$y(1) = y(4) = a - 4a + b = -3a + b$。

したがって、最小値は $-3a + b = 2$ です。

連立方程式

$-4a + b = 6$

$-3a + b = 2$

を解くと、$-3a + b - (-4a + b) = 2 - 6$ より $a = -4$。

これを $-4a + b = 6$ に代入すると、$16 + b = 6$ より $b = -10$。

$a < 0$ を満たしているので、$a = -4, b = -10$ は解です。

3. 最終的な答え

$a = 4, b = 18$ または $a = -4, b = -10$