## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

6. 整式 $x^3 + 2x^2 + ax + b$ が $(x-1)^2$ で割り切れるように、定数 $a, b$ の値を定める。

7. $a > b, c > d$ のとき、$ac + bd > ad + bc$ が成り立つことを証明する。

8. 不等式 $x^2 + 4y^2 \geq 4xy$ を証明し、等号が成り立つ場合を調べる。

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2. 解き方の手順

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6. 整式の割り算**

$P(x) = x^3 + 2x^2 + ax + b$ とおく。$P(x)$ が $(x-1)^2$ で割り切れるということは、$P(x)$ が $(x-1)$ で2回割り切れるということである。まず、$P(x)$ が $(x-1)$ で割り切れる条件は、剰余の定理より、$P(1) = 0$ である。

$P(1) = 1^3 + 2(1)^2 + a(1) + b = 1 + 2 + a + b = 3 + a + b = 0$

よって、$a + b = -3$ が必要条件である。

次に、 $P(x)$ を実際に $x-1$ で割ってみる。

```

x^2 + 3x + (a+3)

x-1 | x^3 + 2x^2 + ax + b

-(x^3 - x^2)

3x^2 + ax

-(3x^2 - 3x)

(a+3)x + b

-((a+3)x - (a+3))

b + a + 3

```

割り算の結果は、$x^2 + 3x + (a+3)$ であり、余りは $b + a + 3$ である。

$P(x)$が$(x-1)^2$で割り切れるには、$x^2 + 3x + (a+3)$ も $x-1$ で割り切れなければならない。つまり、$x^2 + 3x + (a+3)$ に $x=1$ を代入すると0になる。

$1^2 + 3(1) + (a+3) = 1 + 3 + a + 3 = 7 + a = 0$

よって、$a = -7$。

$a + b = -3$ より、$b = -3 - a = -3 - (-7) = 4$。

したがって、$a = -7, b = 4$ である。

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7. 不等式の証明**

$ac + bd > ad + bc$ を証明する。

$ac + bd - (ad + bc) = ac - ad - bc + bd = a(c-d) - b(c-d) = (a-b)(c-d)$

$a > b$ より $a - b > 0$。

$c > d$ より $c - d > 0$。

したがって、$(a-b)(c-d) > 0$ である。

よって、$ac + bd - (ad + bc) > 0$ より、$ac + bd > ad + bc$ が成り立つ。

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8. 不等式の証明**

$x^2 + 4y^2 \geq 4xy$ を証明する。

$x^2 + 4y^2 - 4xy = x^2 - 4xy + 4y^2 = (x - 2y)^2$

$(x - 2y)^2 \geq 0$ であるから、$x^2 + 4y^2 - 4xy \geq 0$ より、$x^2 + 4y^2 \geq 4xy$ が成り立つ。

等号が成り立つのは、$(x - 2y)^2 = 0$ のとき、つまり、$x - 2y = 0$ のときである。

したがって、$x = 2y$ のとき等号が成り立つ。

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3. 最終的な答え

6. $a = -7, b = 4$

7. $ac + bd > ad + bc$ が成り立つ (証明完了)

8. $x^2 + 4y^2 \geq 4xy$ が成り立つ。等号が成り立つのは $x = 2y$ のとき。