(1) 図(1)において、点P, Q, Rは三角形ABCの内接円とそれぞれの辺との接点である。このとき、辺ACの長さを求める。 (2) 図(2)において、直線lは点Aにおける円の接線である。このとき、角$\alpha$と角$\beta$の大きさを求める。

1. 問題の内容

(1) 図(1)において、点P, Q, Rは三角形ABCの内接円とそれぞれの辺との接点である。このとき、辺ACの長さを求める。

(2) 図(2)において、直線lは点Aにおける円の接線である。このとき、角$\alpha$と角$\beta$の大きさを求める。

2. 解き方の手順

(1) 円外の点から円に引いた2本の接線の長さは等しいことを利用する。

点Bから引いた接線の長さを$BP = BR = 5$とする。

点Cから引いた接線の長さを$CP = CQ = 9$とする。

点Aから引いた接線の長さを$AR = AQ = x$とおく。

すると、$AB = AR + RB = x+5$、$AC = AQ + QC = x+9$、$BC = BP + PC = 5+9 = 14$となる。

問題文には$BR = 9$、$CP=9$という情報があるので、辺ACの長さは、$AR+RC = AR+9$ である。

また、$BP=5$より、$BR=5$である。よって、$AR = AB - BR = AB-5$。

問題文より、$CP = 9$、$BP = 5$、$AR=AQ$。

したがって、$AC = AQ + QC = AR + 9$。

$AB = AR + 5$なので、$AR = AB - 5$。

$BC = BP + PC = 5 + 9 = 14$。

内接円の接線の性質より、$AR = AQ$, $BR = BP$, $CQ = CP$。

$BC=14$、$AB=AR+5$、$AC=AQ+9=AR+9$

$AR+5+AR+9+14 = AB + AC + BC$

$AC = AR+9$を求める。$AR=AQ=x$とおくと、$AQ+9=x+9$。

$AR=x$、$BR=5$、$CQ=9$より、$AC = x+9$。

この情報だけではACの長さを求めることはできない。

問題文に誤りがあるか、追加情報が必要である。

ただし、$AR=9$と読み替えると、$AC = 9+9 = 18$。

(2) 接弦定理を利用する。

接弦定理より、$\angle DAB = \angle ACB = 69^\circ$。

したがって、$\alpha = 69^\circ$。

三角形の内角の和は$180^\circ$なので、$\angle ABC = 180^\circ - \angle ACB - \angle BAC = 180^\circ - 69^\circ - \angle BAC$。

また、$\angle CAB = 46^\circ$なので、$\angle ABC = 180^\circ - 69^\circ - 46^\circ = 65^\circ$。

$\beta$は接線lと弦ABの間の角なので、接弦定理より、$\beta = \angle ACB = \angle ADB = 46^\circ$。

3. 最終的な答え

(1) AC = 18 (AR=9の場合)

(2) $\alpha = 69^\circ$, $\beta = 46^\circ$