大小中3つのサイコロを同時に投げるとき、目の和が9になる場合は何通りあるか。

1. 問題の内容

大小中3つのサイコロを同時に投げるとき、目の和が9になる場合は何通りあるか。

2. 解き方の手順

大小中のサイコロの目をそれぞれ$x, y, z$とすると、$x, y, z$は1から6までの整数であり、以下の式を満たす。

$x + y + z = 9$

$1 \le x \le 6$

$1 \le y \le 6$

$1 \le z \le 6$

まず、$x, y, z$が1以上の整数という条件だけを満たす組み合わせの数を考える。

$x' = x - 1$, $y' = y - 1$, $z' = z - 1$ とおくと、$x', y', z' \ge 0$であり、

$(x' + 1) + (y' + 1) + (z' + 1) = 9$

$x' + y' + z' = 6$

この非負整数解の個数は、6個の〇と2個の仕切りを並べる方法の数に等しいので、

${}_{6+2}C_2 = {}_8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ 通り。

次に、$x, y, z$ が6以下という条件を満たさない場合を除く。

$x, y, z$のうち少なくとも1つが7以上になることはない ($7+1+1=9$であるため)。

例えば、$x \ge 7$とすると、$x'' = x - 7$とおくと、$x'' \ge 0$であり、

$(x'' + 7) + y + z = 9$

$x'' + y + z = 2$

この非負整数解の個数は、$x''+ (y-1) + (z-1) = 0$なので、$x'' + y' + z' = 0$. よって、$x'' = y' = z' = 0$.

つまり $x''=0, y=1, z=1$ なので $x=7, y=1, z=1$。

同様に、$y \ge 7$ または $z \ge 7$となる場合はそれぞれ1通りずつ存在する。

よって、条件を満たさない場合の数は3通り。

したがって、目の和が9になる場合の数は、

$28 - 3 = 25$ 通り。

3. 最終的な答え

25 通り