2次方程式 $x^2 - 2(k+1)x + 2(k^2 + 3k - 10) = 0$ について、以下の条件を満たす定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。 (1) 異符号の解をもつ (2) 正でない実数解のみをもつ

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2(k+1)x + 2(k^2 + 3k - 10) = 0$ について、以下の条件を満たす定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

(1) 異符号の解をもつ

(2) 正でない実数解のみをもつ

2. 解き方の手順

(1) 異符号の解をもつ場合

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が異符号の解を持つための条件は、$ac < 0$ となります。

この問題では、$a = 1$、$b = -2(k+1)$、$c = 2(k^2 + 3k - 10)$ なので、

$1 \cdot 2(k^2 + 3k - 10) < 0$

$k^2 + 3k - 10 < 0$

$(k+5)(k-2) < 0$

したがって、$-5 < k < 2$

(2) 正でない実数解のみをもつ場合

正でない実数解のみをもつということは、2つの解が共に負であるか、または0であるということです。

解を $\alpha, \beta$ とすると、条件は以下のようになります。

判別式 $D \geq 0$

$\alpha + \beta \leq 0$

$\alpha \beta \geq 0$

まず、判別式 $D$ を計算します。

$D = (-2(k+1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2(k^2 + 3k - 10)$

$D = 4(k^2 + 2k + 1) - 8(k^2 + 3k - 10)$

$D = 4k^2 + 8k + 4 - 8k^2 - 24k + 80$

$D = -4k^2 - 16k + 84$

$D \geq 0$ より、

$-4k^2 - 16k + 84 \geq 0$

$k^2 + 4k - 21 \leq 0$

$(k+7)(k-3) \leq 0$

したがって、$-7 \leq k \leq 3$

次に、解と係数の関係から $\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ を計算します。

$\alpha + \beta = -\frac{-2(k+1)}{1} = 2(k+1)$

$\alpha \beta = \frac{2(k^2 + 3k - 10)}{1} = 2(k^2 + 3k - 10)$

条件 $\alpha + \beta \leq 0$ より、

$2(k+1) \leq 0$

$k+1 \leq 0$

$k \leq -1$

条件 $\alpha \beta \geq 0$ より、

$2(k^2 + 3k - 10) \geq 0$

$k^2 + 3k - 10 \geq 0$

$(k+5)(k-2) \geq 0$

したがって、$k \leq -5$ または $k \geq 2$

以上から、$-7 \leq k \leq 3$、 $k \leq -1$、 $k \leq -5$ または $k \geq 2$ を満たす $k$ の範囲を求めます。

$k \leq -5$ と $-7 \leq k \leq 3$、 $k \leq -1$ より、$-7 \leq k \leq -5$

$k \geq 2$ と $-7 \leq k \leq 3$、 $k \leq -1$より、$2 \leq k \leq 3$が解の候補となる。

したがって、最終的な範囲は $-7 \leq k \leq -5$ または $2 \leq k \leq 3$となります。

3. 最終的な答え

(1) $-5 < k < 2$

(2) $-7 \leq k \leq -5$ または $2 \leq k \leq 3$