$\triangle ABC$ において、$AB=12$ である。$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$、辺 $AB$ を $5:4$ に内分する点を $E$、辺 $AC$ を $1:6$ に内分する点を $F$ とする。線分 $AD$, $CE$, $BF$ が1点で交わるとき、辺 $AC$ の長さを求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$AB=12$ である。$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$、辺 $AB$ を $5:4$ に内分する点を $E$、辺 $AC$ を $1:6$ に内分する点を $F$ とする。線分 $AD$, $CE$, $BF$ が1点で交わるとき、辺 $AC$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC$ が成り立つ。

$AB=12$ で、$E$ は辺 $AB$ を $5:4$ に内分するので、$AE:EB = 5:4$。したがって、$AE = 12 \times \frac{5}{9} = \frac{20}{3}$、$EB = 12 \times \frac{4}{9} = \frac{16}{3}$。

$F$ は辺 $AC$ を $1:6$ に内分するので、$AF:FC = 1:6$。したがって、$AF = \frac{1}{7} AC$、$FC = \frac{6}{7} AC$。

ここで、チェバの定理より、

$\frac{AE}{EB} \times \frac{BD}{DC} \times \frac{CF}{FA} = 1$

が成り立つ。

$\frac{AE}{EB} = \frac{5}{4}$、$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{12}{AC}$、$\frac{CF}{FA} = \frac{6}{1} = 6$ なので、

$\frac{5}{4} \times \frac{12}{AC} \times 6 = 1$

$\frac{5 \times 12 \times 6}{4 \times AC} = 1$

$\frac{360}{4AC} = 1$

$360 = 4AC$

$AC = \frac{360}{4} = 90$

3. 最終的な答え

90