問題55: 5個の文字からなる集合 $U = \{a, b, c, d, e\}$ の部分集合の総数を求めよ。 問題56(1): 10人がA, Bの2部屋に入る方法は何通りあるか。ただし、全員が1つの部屋に入ってもよい。 問題56(2): 10人が2つの組A, Bに分かれる方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

問題55: 5個の文字からなる集合 $U = \{a, b, c, d, e\}$ の部分集合の総数を求めよ。

問題56(1): 10人がA, Bの2部屋に入る方法は何通りあるか。ただし、全員が1つの部屋に入ってもよい。

問題56(2): 10人が2つの組A, Bに分かれる方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

問題55:

集合 $U$ の部分集合の総数は、各要素について「部分集合に含める」か「含めない」かの2通りの選択肢があることから、$2^n$ で計算できます。ここで、$n$ は集合 $U$ の要素の数です。この問題の場合、$n = 5$ なので、部分集合の総数は $2^5$ となります。

問題56(1):

10人のそれぞれがA, Bどちらかの部屋に入るので、各人について2通りの選択肢があります。したがって、10人全員の部屋の入り方は $2^{10}$ 通りです。

問題56(2):

10人をA, Bの2つの組に分ける方法は、各人についてAまたはBのいずれかの組に属するという選択肢があるため、$2^{10}$ 通りです。ただし、全員がAに属する場合と、全員がBに属する場合の2通りは、問題文の「2つの組」という条件を満たさないため、除外する必要があります。また、AとBは区別されないため、2で割る必要があります。しかし、誰もいない組があってはならないので、空集合になる場合を除外する必要があります。

各人をA, Bいずれかの組に入れる方法は、$2^{10}$ 通り。全員がAに入る場合と全員がBに入る場合を除くと、$2^{10} - 2$ 通り。AとBは区別されないので、これを2で割ることはできません。なぜなら、各グループに少なくとも1人がいなければならないからです。

3. 最終的な答え

問題55:

$2^5 = 32$

したがって、部分集合の総数は32個です。

問題56(1):

$2^{10} = 1024$

したがって、10人がA, Bの2部屋に入る方法は1024通りです。

問題56(2):

$2^{10} - 2 = 1024 - 2 = 1022$

$1022$

したがって、10人が2つの組A, Bに分かれる方法は511通りです。

ただし、各組に少なくとも1人が含まれる場合、答えは511通りです。

もし片方の組が空でも良い場合は、$2^{10} - 2 = 1022$ 通りです。

問題文の解釈によって異なります。

今回は、各組に少なくとも一人はいると解釈して回答します。

511通り