0から4までの数字が書かれたカードが各数字3枚ずつ、合計15枚ある。 この中から2枚同時に取り出すとき、 (1) 2枚が異なる数字である確率を求めよ。 (2) 2枚が同じ数字であるか、2枚の数字の和が3以下である確率を求めよ。

1. 問題の内容

0から4までの数字が書かれたカードが各数字3枚ずつ、合計15枚ある。

この中から2枚同時に取り出すとき、

(1) 2枚が異なる数字である確率を求めよ。

(2) 2枚が同じ数字であるか、2枚の数字の和が3以下である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2枚が異なる数字である確率

まず、2枚のカードの取り出し方の総数を計算する。

これは15枚から2枚を選ぶ組み合わせなので、$_{15}C_2$ である。

計算すると、

$_{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$

次に、2枚が同じ数字である場合の数を計算する。

同じ数字のカードは各数字3枚ずつあるので、同じ数字の2枚を選ぶ組み合わせは、

$5 \times _3C_2 = 5 \times \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 5 \times 3 = 15$ 通り。

2枚が異なる数字である確率は、

(全事象) - (2枚が同じ数字である) = (2枚が異なる数字である)

なので、

$105 - 15 = 90$通り。

したがって、2枚が異なる数字である確率は

$\frac{90}{105} = \frac{6}{7}$

(2) 2枚が同じ数字であるか、2枚の数字の和が3以下である確率

2枚が同じ数字である場合は(1)より15通り。

2枚の数字の和が3以下である場合を考える。

(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (3,0)

2枚の数字の組み合わせを考えると

(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (1,1), (1,2), (2,2) はない。

(0,1), (0,2), (0,3), (1,2)の組み合わせの枚数を考える。

(0,1): $3 \times 3 = 9$通り

(0,2): $3 \times 3 = 9$通り

(0,3): これはありえない。なぜなら3のカードは存在しないから。ただし4まではある。0,1,2,3だけを考えろということ。4は忘れる。

(1,2): $3 \times 3 = 9$通り

(0,0): $_3C_2 = 3$通り

(1,1): $_3C_2 = 3$通り

和が3以下の場合の数は、

3 + 9 + 9 + 9 + 3 = 33通り

2枚が同じ数字であるか、2枚の数字の和が3以下である場合の数は、

(2枚が同じ数字である) + (和が3以下である) - (2枚が同じ数字で、かつ和が3以下)

= 15 + 33 - (0,0), (1,1)の時だけ重複するので 3+3 = 6を引く

= 48 - 6 = 42

したがって、求める確率は

$\frac{42}{105} = \frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

(1) 2枚が異なる数字である確率は $\frac{6}{7}$

(2) 2枚が同じ数字であるか、2枚の数字の和が3以下である確率は $\frac{2}{5}$