1つのサイコロを5回投げるとき、4以上の目がちょうど3回出る確率を求めます。

1. 問題の内容

1つのサイコロを5回投げるとき、4以上の目がちょうど3回出る確率を求めます。

2. 解き方の手順

サイコロを1回投げたとき、4以上の目が出る確率は、4, 5, 6 の3つの目なので、$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ です。したがって、4以上の目が出ない確率は $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ です。

5回の試行のうち、4以上の目が3回出る確率は、二項分布に従います。二項分布の確率質量関数は次の式で与えられます。

$P(X = k) = {}_n C_k p^k (1-p)^{n-k}$

ここで、$n$ は試行回数、$k$ は成功回数、$p$ は成功確率です。この問題では、$n = 5$, $k = 3$, $p = \frac{1}{2}$ です。したがって、

$P(X = 3) = {}_5 C_3 \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^{5-3}$

${}_5 C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$P(X = 3) = 10 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 10 \times \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 10 \times \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{16}$