(1) 2次方程式 $f(x) = 0$ の判別式を $D$ とするとき、$D > 0$ であることは、$f(x) = 0$ が実数解をもつための何条件か。 (2) $xyz = 0$ かつ $x + y \ne 0$ であることは、$x + y + z = 0$ かつ $z = 0$ であるための何条件か。 (3) 四角形 ABCD において、$AB = BC = CD = DA$ かつ $AB // CD$ かつ $BC // DA$ であることは、四角形 ABCD が正方形であるための何条件か。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $f(x) = 0$ の判別式を $D$ とするとき、$D > 0$ であることは、$f(x) = 0$ が実数解をもつための何条件か。

(2) $xyz = 0$ かつ $x + y \ne 0$ であることは、$x + y + z = 0$ かつ $z = 0$ であるための何条件か。

(3) 四角形 ABCD において、$AB = BC = CD = DA$ かつ $AB // CD$ かつ $BC // DA$ であることは、四角形 ABCD が正方形であるための何条件か。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $f(x) = 0$ が実数解をもつための条件は $D \ge 0$ である。したがって、$D > 0$ は実数解をもつための十分条件であるが、必要条件ではない。

(2) $xyz = 0$ かつ $x + y \ne 0$ ならば、$x + y + z = 0$ かつ $z = 0$ とは限らない（例えば、$x=1$, $y=1$, $z=0$）。また、$x + y + z = 0$ かつ $z = 0$ ならば、$xyz = 0$ かつ $x + y \ne 0$ とは限らない（例えば、$x=0$, $y=0$, $z=0$）。したがって、必要条件でも十分条件でもない。

(3) $AB = BC = CD = DA$ かつ $AB // CD$ かつ $BC // DA$ である四角形はひし形である。ひし形が正方形であるためには、さらに角が直角である必要がある。したがって、必要条件であるが、十分条件ではない。

3. 最終的な答え

(1) ②

(2) ④

(3) ①