実数 $a, b$ と虚数単位 $i$ に対して $(a+bi)^2 = 1 + \sqrt{3}i$ が成り立つとき、$(a-bi)^2$ の値を求め、さらに $a > 0$ のときの $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

実数 $a, b$ と虚数単位 $i$ に対して $(a+bi)^2 = 1 + \sqrt{3}i$ が成り立つとき、$(a-bi)^2$ の値を求め、さらに $a > 0$ のときの $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件 $(a+bi)^2 = 1 + \sqrt{3}i$ を展開します。

$(a+bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi$

この式が $1 + \sqrt{3}i$ に等しいので、実部と虚部を比較すると、

$a^2 - b^2 = 1$

$2ab = \sqrt{3}$

次に、$(a-bi)^2$ の値を求めます。

$(a-bi)^2 = a^2 - 2abi + (bi)^2 (-1) = a^2 - b^2 - 2abi$

$a^2 - b^2 = 1$ および $2ab = \sqrt{3}$ を代入すると、

$(a-bi)^2 = 1 - \sqrt{3}i$

次に、$a > 0$ のときの $a, b$ の値を求めます。

$a^2 - b^2 = 1$ と $2ab = \sqrt{3}$ から $b = \frac{\sqrt{3}}{2a}$ を得ます。

これを $a^2 - b^2 = 1$ に代入すると、

$a^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2a}\right)^2 = 1$

$a^2 - \frac{3}{4a^2} = 1$

$4a^4 - 3 = 4a^2$

$4a^4 - 4a^2 - 3 = 0$

$(2a^2 - 3)(2a^2 + 1) = 0$

$a^2 = \frac{3}{2}$ または $a^2 = -\frac{1}{2}$

$a$ は実数なので、$a^2 \ge 0$ より、$a^2 = \frac{3}{2}$

$a > 0$ なので、$a = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

$b = \frac{\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$(a-bi)^2 = 1 - \sqrt{3}i$

$a = \frac{\sqrt{6}}{2}, b = \frac{\sqrt{2}}{2}$