三角形ABCにおいて、直線が辺BC, CA, ABとそれぞれ点P, Q, Rで交わるとき、次の等式が成り立つことを証明する問題です。 $\frac{BP}{PC} \times \frac{CQ}{QA} \times \frac{AR}{RB} = 1$ これは、チェバの定理の逆の証明問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、直線が辺BC, CA, ABとそれぞれ点P, Q, Rで交わるとき、次の等式が成り立つことを証明する問題です。

$\frac{BP}{PC} \times \frac{CQ}{QA} \times \frac{AR}{RB} = 1$

これは、チェバの定理の逆の証明問題です。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理の逆を証明する問題です。

点P, Q, Rはそれぞれ直線BC, CA, AB上にあり、直線AP, BQ, CRが一点で交わることを示せばよいです。

便宜上、$\frac{BP}{PC} \times \frac{CQ}{QA} \times \frac{AR}{RB} = 1$ が成立していると仮定します。

点Aを通り直線BCに平行な直線を引き、直線CRとの交点をD、直線BQとの交点をEとします。

三角形BPCと三角形DRAは相似なので、

$\frac{BP}{AD} = \frac{PC}{AR}$

$BP = \frac{PC \times AD}{AR}$

同様に、三角形BPCと三角形EQAは相似なので、

$\frac{CQ}{AE} = \frac{QA}{AE} = \frac{PC}{BP}$

$AE = \frac{CQ\times BP}{PC}$

仮定より、$\frac{BP}{PC} \times \frac{CQ}{QA} \times \frac{AR}{RB} = 1$ なので、

$\frac{BP}{PC} \times \frac{CQ}{QA} = \frac{RB}{AR}$

$\frac{BP\times CQ}{PC\times QA} = \frac{RB}{AR}$

$BP\times CQ = \frac{PC\times QA\times RB}{AR}$

これを $AE = \frac{CQ\times BP}{PC}$　に代入すると

$AE = \frac{QA\times RB}{AR}$

$AE \times AR = QA \times RB$

チェバの定理の逆を示すためには、AP, BQ, CRが1点で交わることを示します。

$\frac{BP}{PC} \times \frac{CQ}{QA} \times \frac{AR}{RB} = 1$ のとき、3直線AP, BQ, CRは一点で交わる。（チェバの定理の逆）

3. 最終的な答え

$\frac{BP}{PC} \times \frac{CQ}{QA} \times \frac{AR}{RB} = 1$