与えられた4つの式を因数分解する問題です。 (1) $2x^3 - 12x^2y + 18xy^2$ (2) $4x^2 + y^2 - z^2 - 4xy$ (3) $x^4 - 3x^2 - 4$ (4) $(ac + bd)^2 - (ad + bc)^2$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解する問題です。

(1) $2x^3 - 12x^2y + 18xy^2$

(2) $4x^2 + y^2 - z^2 - 4xy$

(3) $x^4 - 3x^2 - 4$

(4) $(ac + bd)^2 - (ad + bc)^2$

2. 解き方の手順

(1)

まず、各項に共通な因子である $2x$ をくくり出します。

$2x(x^2 - 6xy + 9y^2)$

括弧の中は、$x^2 - 6xy + 9y^2 = (x - 3y)^2$ と因数分解できます。

したがって、$2x(x - 3y)^2$ となります。

(2)

$4x^2 + y^2 - z^2 - 4xy$ を並び替えて、$4x^2 - 4xy + y^2 - z^2$ とします。

すると、$4x^2 - 4xy + y^2 = (2x - y)^2$ であるため、$(2x - y)^2 - z^2$ となります。

これは、$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ の形なので、$(2x - y + z)(2x - y - z)$ と因数分解できます。

(3)

$x^4 - 3x^2 - 4$ において、$x^2 = A$ と置くと、$A^2 - 3A - 4$ となります。

これは $(A - 4)(A + 1)$ と因数分解できます。

$A$ を $x^2$ に戻すと、$(x^2 - 4)(x^2 + 1)$ となります。

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ なので、$(x - 2)(x + 2)(x^2 + 1)$ となります。

(4)

$(ac + bd)^2 - (ad + bc)^2$ を展開すると、$a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2 - (a^2d^2 + 2abcd + b^2c^2)$ となります。

整理すると、$a^2c^2 + b^2d^2 - a^2d^2 - b^2c^2$ となります。

これを、$a^2(c^2 - d^2) - b^2(c^2 - d^2)$ と変形すると、$(a^2 - b^2)(c^2 - d^2)$ となります。

さらに因数分解すると、$(a - b)(a + b)(c - d)(c + d)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $2x(x - 3y)^2$

(2) $(2x - y + z)(2x - y - z)$

(3) $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 1)$

(4) $(a - b)(a + b)(c - d)(c + d)$