$0 < \theta < \pi$ の範囲で $\theta$ が動くとき、xy平面上の3点 P(1, 0), Q(cosθ, sinθ), R(cos2θ, sin2θ) について、以下の問いに答える。 (1) △PQR の面積Sを $\theta$ を用いて表す。 (2) S の最大値とそのときの $\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0 < \theta < \pi$ の範囲で $\theta$ が動くとき、xy平面上の3点 P(1, 0), Q(cosθ, sinθ), R(cos2θ, sin2θ) について、以下の問いに答える。

(1) △PQR の面積Sを $\theta$ を用いて表す。

(2) S の最大値とそのときの $\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

△PQRの面積Sは、座標を用いて以下のように計算できる。

$S = \frac{1}{2} | (1 \cdot \sin\theta + \cos\theta \cdot \sin2\theta + \cos2\theta \cdot 0) - (0 \cdot \cos\theta + \sin\theta \cdot \cos2\theta + \sin2\theta \cdot 1) |$

これを整理すると、

$S = \frac{1}{2} | \sin\theta + \cos\theta\sin2\theta - \sin\theta\cos2\theta - \sin2\theta |$

$S = \frac{1}{2} | \sin\theta + \cos\theta(2\sin\theta\cos\theta) - \sin\theta(2\cos^2\theta - 1) - 2\sin\theta\cos\theta |$

$S = \frac{1}{2} | \sin\theta + 2\sin\theta\cos^2\theta - 2\sin\theta\cos^2\theta + \sin\theta - 2\sin\theta\cos\theta |$

$S = \frac{1}{2} | 2\sin\theta - 2\sin\theta\cos\theta |$

$S = \frac{1}{2} | 2\sin\theta(1 - \cos\theta) |$

$0 < \theta < \pi$ より、 $\sin\theta > 0$ である。

$S = | \sin\theta(1 - \cos\theta) | = \sin\theta(1 - \cos\theta)$

(2)

$S = \sin\theta(1 - \cos\theta)$ を最大化する。

$S = \sin\theta - \sin\theta\cos\theta = \sin\theta - \frac{1}{2}\sin2\theta$

$S' = \cos\theta - \cos2\theta$

$S' = \cos\theta - (2\cos^2\theta - 1)$

$S' = -2\cos^2\theta + \cos\theta + 1$

$S' = -(2\cos\theta + 1)(\cos\theta - 1)$

$S' = 0$ となるのは、 $\cos\theta = 1$ または $\cos\theta = -\frac{1}{2}$ のとき。

$\cos\theta = 1$ は $\theta = 0$ となるが、$0 < \theta < \pi$ より不適。

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$ のとき、 $\theta = \frac{2\pi}{3}$ である。

$0 < \theta < \frac{2\pi}{3}$ のとき $S' > 0$, $\frac{2\pi}{3} < \theta < \pi$ のとき $S' < 0$ なので、$\theta = \frac{2\pi}{3}$ でSは最大となる。

そのときのSの値は、

$S = \sin(\frac{2\pi}{3}) (1 - \cos(\frac{2\pi}{3})) = \frac{\sqrt{3}}{2} (1 - (-\frac{1}{2})) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $S = \sin\theta(1 - \cos\theta)$

(2) 最大値: $\frac{3\sqrt{3}}{4}$, そのときの $\theta$: $\frac{2\pi}{3}$